Question

如图，抛物线与y轴交于点C（0，－4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）

（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值；
（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．

Answer 1

解：（1）把点C（0，－4），B（2，0）分别代入中，
得，解得。
∴该抛物线的解析式为。
（2）令y=0，即，解得x₁=－4，x₂=2。
∴A（﹣4，0），S_△ABC=AB•OC=12。
设P点坐标为（x，0），则PB=2﹣x。
∵PE∥AC，∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA。∴△PBE∽△ABC。
∴，即，化简得：。
∴
。
∴当x=﹣1时，S_△PCE的最大值为3。
（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：
①当DM=DO时，如图①所示，

∵DO=DM=DA=2，
∴∠OAC=∠AMD=45°。∴∠ADM=90°。
∴M点的坐标为（－2，－2）。
②当MD=MO时，如图②所示，

过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，
∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，
又△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=3。
∴M点的坐标为（－1，－3）。
③当OD=OM时，
∵△OAC为等腰直角三角形，
∴点O到AC的距离为×4=，即AC上的点与点O之间的最小距离为。
∵＞2，∴OD=OM的情况不存在。
综上所述，点M的坐标为（－2，－2）或（－1，－3）。

（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式。
（2）首先求出△PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值。
（3）△OMD为等腰三角形，分DM=DO，MD=MO，OD=OM三种情况讨论即可。