Question

已知：抛物线C₁：y＝x²。如图（1），平移抛物线C₁得到抛物线C₂，C₂经过C₁的顶点O和A（2，0），C₂的对称轴分别交C₁、C₂于点B、D。

（1）求抛物线C₂的解析式；
（2）探究四边形ODAB的形状并证明你的结论；
（3）如图（2），将抛物线C₂向下平移m个单位（m＞0）得抛物线C₃，C₃的顶点为G，与y轴交于M。点N是M关于x轴的对称点，点P（）在直线MG上。问：当m为何值时，在抛物线C₃上存在点Q，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？

Answer 1

解：（1）∵抛物线C₂经过点O（0，0），∴设抛物线C₂的解析式为。
∵抛物线C₂经过点A（2，0），∴，解得。
∴抛物线C₂的解析式为。
（2）∵，∴抛物线C₂的顶点D的坐标为（1，）。
当x=1时， ，∴点B的坐标为（1，1）。
∴根据勾股定理，得OB=AB=OD=AD=。∴四边形ODAB是菱形。
又∵OA=BD=2，∴四边形ODAB是正方形。
（3）∵抛物线C₃由抛物线C₂向下平移m个单位（m＞0）得到，
∴抛物线C₃的解析式为。
在中令x=0，得，∴M。
∵点N是M关于x轴的对称点，∴N。∴MN=。
当M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时有两种情况：
①若MN是平行四边形的一条边，由MN=PQ=和P（）得Q（）。
∵点Q 在抛物线C₃上，∴，解得或（舍去）。
②若MN是平行四边形的一条对角线，由平行四边形的中心对称性，得Q（）。
∵点Q 在抛物线C₃上，∴，解得或（舍去）。
综上所述，当或时，在抛物线C₃上存在点Q，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形。

试题分析：（1）根据平移的性质，应用待定系数法即可求得抛物线C₂的解析式。
（2）求出各点坐标，应用勾股定理求出各边长和对角线长，根据正方形的判定定理可得结论。
（3）分MN为平行四边形的边和对角线两种情况讨论即可。