Question

已知：关于x的方程kx²+（2k-3）x+k-3=0．
（1）求证：方程总有实数根；
（2）当k取哪些整数时，关于x的方程kx²+（2k-3）x+k-3=0的两个实数根均为负整数？

Answer 1

分析：（1）分两种情况讨论，当k=0时为一元一次方程，方程有一个实数根；当k≠0时，利用根的判别式计算出△＞0，得到方程总有实数根；
（2）先判断出方程为一元二次方程，然后利用求根公式求出方程的两个根，再根据方程两根均为负数得出k的取值范围，从而求出k的值．

解答：解：（1）分类讨论：
若k=0，则此方程为一元一次方程，即-3x-3=0，
∴x=-1有根，（1分）
若k≠0，则此方程为一元二次方程，
∴△=（2k-3）²-4k（k-3）=9＞0，（2分）
∴方程有两个不相等的实数根，（3分）
综上所述，方程总有实数根．
（2）∵方程有两个实数根，
∴方程为一元二次方程．
∵利用求根公式x=

-(2k-3)± 9

2k

，（4分）
得x1=

6-2k

2k

=

3

k

-1；x₂=-1，（5分）
∵方程有两个负整数根，
∴

3

k

-1是负整数，即k是3的约数
∴k=±1，±3
但k=1、3时根不是负整数，
∴k=-1、-3．（7分）

点评：此题主要考查了一元二次方程根的判别式，要明确：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根；同时要加以灵活运用．