Question

已知关于x的方程x²-（2k+1）x+4（k-

1

2

）=0．
（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实根．
（2）若等腰△ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两根，求△ABC的周长．

Answer 1

（1）证明：方程化为一般形式为：x²-（2k+1）x+4k-2=0，
∵△=（2k+1）²-4（4k-2）=（2k-3）²，
而（2k-3）²≥0，
∴△≥0，
所以无论k取任何实数，方程总有两个实数根；

（2）x²-（2k+1）x+4k-2=0，
整理得（x-2）[x-（2k-1）]=0，
∴x₁=2，x₂=2k-1，
当a=4为等腰△ABC的底边，则有b=c，
因为b、c恰是这个方程的两根，则2=2k-1，
解得k=

3

2

，则三角形的三边长分别为：2，2，4，
∵2+2=4，这不满足三角形三边的关系，舍去；
当a=4为等腰△ABC的腰，
因为b、c恰是这个方程的两根，所以只能2k-1=4，
则三角形三边长分别为：2，4，4，
此时三角形的周长为2+4+4=10．
所以△ABC的周长为10．