题目内容
【题目】在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为 ；（直接写出答案）
（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；
（3）如图（3），BD=8，AB=2，DE=8，若ACE=135°，则线段AE长度的最大值是 （直接写出答案）．
【答案】（1）AE=AB+DE；（2）AE=AB+DE+
BD，证明详见解析；（3）10+4
（或写成10+
）
【解析】
(1)在AE上取一点F，使AF=AB，及可以得出△ACB≌△ACF，就可以得出BC=FC，∠ACB=∠ACF，就可以得出△CEF≌△CED．就可以得出结论；
(2)在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．可以求得CF=CG，△CFG是等边三角形，就有FG=CG=BD，进而得出结论；
(3)作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG．
（1）AE=AB+DE；
理由：在AE上取一点F，使AF=AB，
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，
，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴BC=FC，∠ACB=∠ACF，
∵C是BD边的中点，
∴BC=CD，
∴CF=CD，
∵∠ACE=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°，
∴∠ECF=∠ECD，
在△CEF和△CED中，
，
∴△CEF≌△CED（SAS），
∴EF=ED，
∵AE=AF+EF，
∴AE=AB+DE；
故答案为：AE=AB+DE；
（2）猜想：AE=AB+DE+BD，
证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG，
∵C是BD边的中点，
∴CB=CD=BD．
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠FAC，
在△ACB和△ACF中，
，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF=CB，
∴∠BCA=∠FCA，
同理可证：CD=CG，
∴∠DCE=∠GCE，
∵CB=CD，
∴CG=CF，
∵∠ACE=120°，
∴∠BCA+∠DCE=180°﹣120°=60°，
∴∠FCA+∠GCE=60°，
∴∠FCG=60°，
∴△FGC是等边三角形，
∴FG=FC=BD，
∵AE=AF+EG+FG，
∴AE=AB+DE+BD；
（3）作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG，
∵C是BD边的中点，
∴CB=CD=BD，
∵△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF=CB，
∴∠BCA=∠FCA，
同理可证：CD=CG，
∴∠DCE=∠GCE，
∵CB=CD，
∴CG=CF，
∵∠ACE=135°，
∴∠BCA+∠DCE=180°-135°=45°，
∴∠FCA+∠GCE=45°，
∴∠FCG=90°，
∴△FGC是等腰直角三角形，
∴FC=BD，
∵BD=8，
∴FC=4，
∴FG=4，
∵AE=AF+FG+GE，
∴AE=AB+4+DE，
∵AB=2，DE=8，
∴AE≤AF+FG+EG=10+4，
∴当A、F、G、E共线时AE的值最大2，最大值为10+4．
故答案为：10+4．
