Question

【题目】如图1，把两个全等的三角板ABC、EFG叠放在一起，使三角板EFG的直角边FG经过三角板ABC的直角顶点C，垂直AB于G，其中∠B=∠F=30°，斜边AB和EF均为4．现将三角板EFG由图1所示的位置绕G点沿逆时针方向旋转（0＜＜90°），如图2，EG交AC于点K，GF交BC于点H．在旋转过程中，请你解决以下问题：

（1）求证：△CGH∽△AGK；

（2）连接HK，求证：KH∥EF；

（3）设AK=x，△CKH的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最大值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析;（2）证明见解析;（3）y= , y最大值为.

【解析】试题分析：（1）GH：GK的值没发生变化，根据已知条件证明△AGK∽△CGH，由相似三角形的性质可得： =，又因为在Rt△ACG中，tan∠A==，所以GH：GK的比值是一个的值；

（2）连接HK，由（1）可知在Rt△KHG中，tan∠GKH==，所以∠GKH=60°，再根据三角形的内角和证明，∠E=∠EGF-∠F=90°-30°=60°，即可证得∠GKH=∠E=60°，利用同位角相等两线平行即可证明KH∥EF；

（3）设AK=x，存在x=1，使△CKH的面积最大，由（1）得△AGK∽△CGH，所以CH=AK=x，根据三角形的面积公式表示出S△CHK=CKCH=（2-x）x，再把二次函数的解析式化为顶点式即可求出x的值．

试题解析：

（1）证明：在Rt△ABC中，CG⊥AB，∠B=30°，

∴∠GCH=∠GAK=60°.

又∠CGH=∠AGK= ，

∴△CGH∽△AGK.

（2）证明：连接HK，

由（1）得△CGH∽△AGK，

∴.

在Rt△ACG中，tanA==，

∴.

在Rt△KHG中，tan∠GKH=，

∴∠GKH=60°.

∵Rt△EFG中，∠F=30°，∴∠E=60°，

∴∠GKH=∠E，

∴KH∥EF.

（3）解：由（1）得△CGH∽△AGK，

∴

由（2）知，∴.

∴CH=AK= .

在Rt△ABC中，∠B=30°，

∴AC=AB=2，

∴CK=AC-AK=2-x.

∴y=CK·CH= = .

又y=.

∴当x=1时，y有最大值为.

点睛: 本题考查的是相似三角形的判定与性质及图形旋转的性质、平行线的判定和性质、三角形的面积公式、二次函数的最值问题，题目的综合性很强，难度中等．