Question

【题目】（10分）如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N．

（1）求证：∠ADC=∠ABD；

（2）求证：AD2=AMAB；

（3）若AM=，sin∠ABD=，求线段BN的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）．

【解析】试题分析：（1）连接OD，由切线的性质和圆周角定理即可得到结果；

（2）证明△ADM∽△ABD，即可得到结论；

（3）根据三角函数和勾股定理即可得到结果．

试题解析：（1）连接OD，∵直线CD切⊙O于点D，∴∠CDO=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，∵OB=OD，∴∠3=∠4，∴∠ADC=∠ABD；

（2）∵AM⊥CD，∴∠AMD=∠ADB=90°，∵∠1=∠4，∴△ADM∽△ABD，∴，∴AD2=AMAB；

（3）∵sin∠ABD=，∴sin∠1=，∵AM=，∴AD=6，∴AB=10，∴BD==8，∵BN⊥CD，∴∠BND=90°，∴∠DBN+∠BDN=∠1+∠BDN=90°，∴∠DBN=∠1，∴sin∠NBD=，∴DN=，∴BN==．