Question

【题目】在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：

如图，将矩形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接，，，.

(1) 求证：四边形为平行四边形；

(2) 若矩形是边长为1的正方形，且，，求的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2

【解析】

试题分析：（1）易证AH=CF，结合已知条件由勾股定理可得EH=FG，同理可得EF=GH，从而得证.

（2）设AE=x，则BE=x+1，由可得DH=x+1，AH=x+2,由可求出结果.

试题分析：（1）在矩形ABCD中，AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°

又∵BF=DH

∴AD+DH=BC+BF

即AH=CF

在RtΔAEH中，EH=

在RtΔCFG中，FG=

∵AE=CG

∴EH=FG

同理得：EF=HG

∴四边形EFGH为平行四边形．

（2）在正方形ABCD中，AB=AD=1

设AE=x,则BE=x+1

∵在RtΔBEF中，

∴BE=BF

∵BF=DH

∴DH=BE=x+1

∴AH=AD+DH=x+2

∵

∴AH=2AE

∴2+x=2x

∴x=2

即AE=2