题目内容

【题目】O是ABC的外接圆,AB是直径,过的中点P作O的直径PG,与弦BC相交于点D,连接AG、CP、PB.

(1)如图1,求证:AG=CP;

(2)如图2,过点P作AB的垂线,垂足为点H,连接DH,求证:DHAG;

(3)如图3,连接PA,延长HD分别与PA、PC相交于点K、F,已知FK=2,ODH的面积为2,求AC的长.

【答案】(1)证明见解析;

(2)证明见解析;

(3)AC=10

【解析】

试题分析:(1)利用等弧所对的圆周角相等即可求解;

(2)利用等弧所对的圆周角相等,得到角相等APG=CAP,判断出BOD≌△POH,再得到角相等,从而判断出线平行;

(3)由三角形相似,得出比例式,HON∽△CAM,,再判断出四边形CDHM是平行四边形,最后经过计算即可求解.

试题解析:(1)的中点P作O的直径PG,

CP=PB,

AB,PG是相交的直径,

AG=PB,

AG=CP;

(2)证明:如图 2,连接BG

AB、PG都是O的直径,

四边形AGBP是矩形,

AGPB,AG=PB,

P是弧BC的中点,

PC=BC=AG,

弧AG=弧CP,

∴∠APG=CAP,

ACPG,

PGBC,

PHAB,

∴∠BOD=90°=POH,

BOD和POH中,

∴△BOD≌△POH,

OD=OH,

∴∠ODH=(180°﹣∠BOP)=OPB,

DHPBAG.

(3)如图3,作CMAP于M,ONDH于N,

∴∠HON=BOP=COP=CAP,

∴△HON∽△CAM,

作PQAC于Q,

四边形CDPQ是矩形,

APH与APQ关于AP对称,

HQAP,

由(1)有:HKAP,

点K在HQ上,

CK=PK,

PK是CMP的中位线,

CM=2FK=4,MF=PF,

CMAP,HKAP,

CMHK,

∴∠BCM+CDH=180°

∵∠BCM=CAP=BAP=PHK=MHK,

∴∠MHK+CDH=180°

四边形CDHM是平行四边形,

DH=CM=4,DN=HN=2,

SODH=DH×ON=×4×ON=2

ON=

OH==5,

AC==10.

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