Question

已知：正方形ABCD的边长为2，⊙O交正方形ABCD的对角线AC所在直线于点T，连结TO交⊙O于点S，连结AS．

小题1:如图1，当⊙O经过A、D两点且圆心O在正方形ABCD内部时，连结DT、DS．
①试判断线段DT、DS的数量关系和位置关系；   ②求AS＋AT的值；
小题2:如图2，当⊙O经过A、D两点且圆心O在正方形ABCD外部时，连结DT、DS．求AS－AT的值；
小题3:如图3，延长DA到点E，使AE=AD，当⊙O经过A、E两点时，连结ET、ES．
根据（1）、（2）计算，通过观察、分析，对线段AS、AT的数量关系提出问题并解答．

Answer 1

小题1:①线段DT、DS的数量和位置关系分别是DT=DS和DT⊥DS…2分
………3分
②证△DAS≌△DCT                                ……4分
∴AS＋AT=                             …………5分
小题2:证△DAS≌△DCT                              …………6分
∴AS－AT=                              …………8分
小题3:提出的问题是：求 AT－AS的值.                 …………10分
在TA上取TF=AS，连结EF，证△EAS≌△EFT      …………11分
∴AT－AS =                                 …………12分

（1）因为ST是直径，所以°,AC是正方形的对角线，所以也是角平分线，从而三角形SDT是等腰直角三角形；由△DAS≌△DCT，可知AS=CT，这样就把AS＋AT转化为CT+AT，易得CT+AT=；
（2）（3）小题都是以（1）题为基础，解题思路相同