Question

如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4： 3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．

（1）求证：AC·CD=PC·BC；
（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；
（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求出这个最大面积S。

Answer 1

（1）见解析（2）（3）

（1）由题意，AB是⊙O的直径；∴∠ACB=90^。，∵CD⊥CP，∴∠PCD=90^。
∴∠ACP+∠BCD=∠PCB+∠DCB=90^。，∴∠ACP=∠DCB，又∵∠CBP=∠D+∠DCB，∠CBP=∠ABP+∠ABC，∴∠ABC=∠APC，∴∠APC＝∠D，∴△PCA∽△DCB；∴，∴AC·CD=PC·BC
（2）当P运动到AB弧的中点时,连接AP，
∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90^。，又∵P是弧AB的中点，∴弧PA=弧PB，∴AP=BP，∴∠PAB=∠PBA=45^.,又AB=5，∴PA=，过A作AM⊥CP，垂足为M，在Rt△AMC中，∠ACM=45，∴∠CAM=45，∴AM=CM=，在Rt△AMP中，AM²+AP²=PM²，∴PM=，∴PC=PM+=。由（1）知：AC·CD=PC·BC ，3×CD=PC×4，∴CD＝
（3）由（1）知：AC·CD=PC·BC，所以AC：BC=CP：CD；
所以CP：CD=3：4，而△PCD的面积等于·=，
CP是圆O的弦，当CP最长时，△PCD的面积最大，而此时C
P就是圆O的直径；所以CP=5，∴3：4=5：CD；
∴CD=，△PCD的面积等于·==；
（1）通过求证△PCA∽△DCB，即可求证AC·CD=PC·BC
（2）当P运动到AB弧的中点时,连接AP，求出PA，过A作AM⊥CP，垂足为M，求出AM，
从而求出PC ,由（1）可知CD的长
（3）当CP最长时，即为圆的直径，△PCD的面积最大，由（1）可求得CD的长，从而求出△PCD的面积