题目内容
【题目】如图,已知抛物线y=ax2﹣2ax+b与x轴交于A、B(3,0)两点,与y轴交于点C,且OC=3OA,设抛物线的顶点为D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点(其中点M在点N的右侧),在x轴上是否存在点Q,使△MNQ为等腰直角三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)P(2,3)或(,);(3)存在,且Q1(1,0),Q2(2﹣,0),Q3(2+,0),Q4(﹣,0),Q5(,0).
【解析】
(1)根据抛物线的解析式,可得到它的对称轴方程,进而可根据点B的坐标来确定点A的坐标,已知OC=3OA,即可得到点C的坐标,利用待定系数法即可求得该抛物线的解析式.
(2)求出点C关于对称轴的对称点,求出两点间的距离与CD相比较可知,PC不可能与CD相等,因此要分两种情况讨论:
①CD=PD,根据抛物线的对称性可知,C点关于抛物线对称轴的对称点满足P点的要求,坐标易求得;
②PD=PC,可设出点P的坐标,然后表示出PC、PD的长,根据它们的等量关系列式求出点P的坐标.
(3)此题要分三种情况讨论:
①点Q是直角顶点,那么点Q必为抛物线对称轴与x轴的交点,由此求得点Q的坐标;
②M、N在x轴上方,且以N为直角顶点时,可设出点N的坐标,根据抛物线的对称性可知MN正好等于抛物线对称轴到N点距离的2倍,而△MNQ是等腰直角三角形,则QN=MN,由此可表示出点N的纵坐标,联立抛物线的解析式,即可得到关于N点横坐标的方程,从而求得点Q的坐标;根据抛物线的对称性知:Q关于抛物线的对称点也符合题意;
③M、N在x轴下方,且以N为直角顶点时,方法同②.
(1)由y=ax2﹣2ax+b可得抛物线对称轴为x=1,由B(3,0)可得A(﹣1,0);
∵OC=3OA,
∴C(0,3);
依题意有:,
解得;
∴y=﹣x2+2x+3.
(2)存在.①DC=DP时,由C点(0,3)和x=1可得对称点为P(2,3);
设P2(x,y),
∵C(0,3),P(2,3),
∴CP=2,
∵D(1,4),
∴CD=<2,
②由①此时CD⊥PD,
根据垂线段最短可得,PC不可能与CD相等;
②PC=PD时,∵CP22=(3﹣y)2+x2,DP22=(x﹣1)2+(4﹣y)2
∴(3﹣y)2+x2=(x﹣1)2+(4﹣y)2
将y=﹣x2+2x+3代入可得:,
∴;
∴P2(,).
综上所述,P(2,3)或(,).
(3)存在,且Q1(1,0),Q2(2﹣,0),Q3(2+,0),Q4(﹣,0),Q5(,0);
①若Q是直角顶点,由对称性可直接得Q1(1,0);
②若N是直角顶点,且M、N在x轴上方时;
设Q2(x,0)(x<1),
∴MN=2Q1O2=2(1﹣x),
∵△Q2MN为等腰直角三角形;
∴y=2(1﹣x)即﹣x2+2x+3=2(1﹣x);
∵x<1,
∴Q2(,0);
由对称性可得Q3(,0);
③若N是直角顶点,且M、N在x轴下方时;
同理设Q4(x,y),(x<1)
∴Q1Q4=1﹣x,而Q4N=2(Q1Q4),
∵y为负,
∴﹣y=2(1﹣x),
∴﹣(﹣x2+2x+3)=2(1﹣x),
∵x<1,
∴x=﹣,
∴Q4(,0);
由对称性可得Q5(+2,0).