题目内容
【题目】将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠A1＝∠A＝30°．
（1）将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1＝CQ；
（2）在图2中，若AP1＝a，则CQ等于多少？
（3）将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转到△A2B2C（如图3），点P2是A2C与AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP1C∽△CP1P2？这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关系？
【答案】（1）证明见解析；（2）CQ＝
a；（3）当∠P1CP2＝∠P1AC＝30°时， P1P2＝
CP1
【解析】试题分析：（1）根据△A1B1C和△ABC是两个完全一样的三角形，顺时针旋转45°两个条件证明△B1CQ≌△BCP1，然后可求证：CP1=CQ；
（2）作P1D⊥AC于D，根据∠A=30，∠P1CD=45°分别求出P1D=
AP1，CP1=
P1D=
AP1，而AP1=a可求CQ．
（3）当△A P1C∽△CP1P2时，∠P1CP2=∠P1AC=30°，再根据相似求出CP1与P1P2之间存在的数量关系；
试题解析：
（1）∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，
∴∠B1CQ=∠BCP1=45°；
又B1C=BC，∠B1=∠B，
∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）
∴CQ=CP1；
（2）如图：作P1D⊥AC于D，
∵∠A=30°，
∴P1D=AP1；
∵∠P1CD=45°，
∴
=sin45°=
，
∴CP1=
P1D=AP1；
又AP1=a，CQ=CP1，
∴CQ=a；
（3）当∠P1CP2=∠P1AC=30°时，由于∠CP1P2=∠AP1C，则△AP1C∽△CP1P2，
所以将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转30°到△A2B2C时，有△AP1C∽△CP1P2．
这时
=
=，
∴P1P2=
CP1．
