题目内容

【题目】如图,在正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,连接AE,BF交于点G,将△BCF沿BF对折,得到△BPF,延长FP交BA延长线于点Q,下列结论正确的个数是( )
①AE=BF;②AE⊥BF;③sin∠BQP= ;④S四边形ECFG=2SBGE

A.4
B.3
C.2
D.1

【答案】B
【解析】解:∵E,F分别是正方形ABCD边BC,CD的中点,
∴CF=BE,
在△ABE和△BCF中,

∴Rt△ABE≌Rt△BCF(SAS),
∴∠BAE=∠CBF,AE=BF,故①正确;
又∵∠BAE+∠BEA=90°,
∴∠CBF+∠BEA=90°,
∴∠BGE=90°,
∴AE⊥BF,故②正确;
根据题意得,FP=FC,∠PFB=∠BFC,∠FPB=90°
∵CD∥AB,
∴∠CFB=∠ABF,
∴∠ABF=∠PFB,
∴QF=QB,
令PF=k(k>0),则PB=2k
在Rt△BPQ中,设QB=x,
∴x2=(x﹣k)2+4k2
∴x=
∴sin=∠BQP= = ,故③正确;
∵∠BGE=∠BCF,∠GBE=∠CBF,
∴△BGE∽△BCF,
∵BE= BC,BF= BC,
∴BE:BF=1:
∴△BGE的面积:△BCF的面积=1:5,
∴S四边形ECFG=4SBGE , 故④错误.
故选:B.
【考点精析】认真审题,首先需要了解相似三角形的性质(对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形).

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