题目内容
【题目】如图，已知点
的坐标是
，点
的坐标是
，以线段
为直径作⊙
，交
轴的正半轴于点
，过、、三点作抛物线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连结
，
，点
是延长线上一点，
的角平分线
交⊙于点
，连结
，在直线
上找一点
，使得
的周长最小，并求出此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点
，使得
，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
;（2）交点
;（3）符合条件的点
有两个：
，
.
【解析】
(1)因为BC是直径,所以∠BDC=90°,易证
∽
,由相似三角形的性质得：
,解得OD的长,从而求出点D坐标.由
，
设交点式解析式,把点D坐标代入即可求出解析式.
（2）属于最短路径问题，要使
的周长最小，因为CF的长是定值，所以只要满足PF+PC的值最小即可解答，作点F或者点C关于直线BD的对称点，正好CD⊥BD,延长
至点
，
，则可得
，连结
交
于点
，再连结
、
，此时的周长最短，求出的解析式为
，再与
的解析式：
联立，可得交点.
（3）本题要分两种情况进行讨论：
①过F作FG∥DC，交F点右侧的抛物线于G，此时两内错角∠GFC=∠DCF，可先用待定系数法求出直线DC的解析式，然后根据DC与FG平行，那么直线FG与直线DC的k值相同，因此可根据F的坐标求出FG的解析式，然后联立直线FG的解析式和抛物线的解析式即可求出交点坐标，然后将不合题意的值舍去即可得出符合条件的G点．
②解法同①，过D作DM∥FC，交圆于点M，连接FM并延长交抛物线于点G，此时两弧DF、MC相等，∠GFC=∠DCF.先求FC解析式，根据DM∥FC和D点坐标，求出DM解析式，从而就出M坐标，根据点F、M坐标求出直线MF解析式，与抛物线解析式联立求得
.
综上所述可求出符合条件的P点的值．
（1）∵以
为直径作⊙
，交
轴的正半轴于点
，
∴
又∵
∴
又∵
∴∽
∴
又∵，
∴
解得
（负值舍去）
∴
故抛物线解析式为
∴
，解得
∴二次函数的解析式为
，即
.
（2）∵为⊙的直径，且，
∴
，
∵点
是延长线上一点，
的角平分线
交⊙于点
∴
连结
，则
，
，
，可得
∵
，
∴延长至点，使，
则可得
连结交于点，再连结、，
此时的周长最短，
解得的解析式为
的解析式为，可得交点
（3）符合条件的点有两个：
，.
①如图过F作FG∥DC，交F点右侧的抛物线于G，此时两内错角∠GFC=∠DCF，
用待定系数法求出直线DC的解析式：y=-
x+4 ，
∵DC与FG平行，那么直线FG与直线DC的K值相同，因此可根据F的坐标(3,5)∴求得FG的解析式:y=-x+
，然后联立直线FG的解析式: :y=-x+，和抛物线的解析式.即可求出交点G坐标
， 横坐标是
时，不符合题意，舍去．
②如图过D作DM∥FC，交圆于点M，连接FM并延长交抛物线于点G，此时两弧DF、MC相等，∠GFC=∠DCF，
解法同①，先求FC解析式，根DM∥FC和D点坐标，求出DM解析式，从而就出M坐标，根据点F、M坐标求出直线MF解析式，与抛物线解析式联立求得.
