Question

如图，已知正三角形ABC的边长为2a．

（1）求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；

（2）根据计算结果，要求圆环的面积，只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积；

（3）将条件中的“正三角形”改为“正方形”“正六边形”，你能得出怎样的结论？

（4）已知正n边形的边长为2a，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环面积．

 

Answer 1

【答案】

（1）a²；（2）弦AB或BC或AC；

（3）圆环的面积均为·（）²；（4）a²

【解析】

试题分析：正多边形的边心距，半径，边长的一半正好构成直角三角形，根据勾股定理就可以求解．

（1）设正三角形ABC的中心为O，BC切⊙O于点D连接OB、OD，

则OD⊥BC，BD=DC=a；

则S圆环=π•OB²-π•OD²=π（OB²-OD^2）=π• BD² =πa²．

（2）只需测出弦BC的长（或AC，AB）．

（3）结果一样，即S圆环=πa²

（4）S圆环=πa²．

考点：本题考查的是正多边形的内切圆与外接圆，勾股定理

点评：正多边形的计算，一般是过中心作边的垂线，连接半径，把内切圆半径，外接圆半径和高，中心角之间的计转化为解直角三角形．