Question

归纳猜想：同学们，让我们一起进行一次研究性学习：
（1）如图1已知正三角形ABC的中心为O，半径为R，将其沿直线l向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，其中心O经过的路程是多少？

（2）如图2将半径为R的正方形沿直线l向右翻滚，当正方形翻滚一周时，其中心O经过的路程是多少？

（3）猜想：把正多边形翻滚一周，其中心O所经过的路程是多少（R为正多边形的半径，可参看图2）？请说明理由．

（4）进一步猜想：任何多边形都有一个外接圆，若将任意圆内接多边形翻滚一周时，其外心所经过的路程是否是一个定值（R为多边形外接圆的半径）？为什么？请以任意三角形为例说明（如图12）．
通过以上猜想你可得到什么样的结论？请写出来．

Answer 1

分析：（1）当正三角形ABC向右翻滚一周时，其中心O经过的路线是三条等弧，根据弧长公式求出一条弧长，继而可得出答案．
（2）滚过的路程相当于90°的圆弧的长，继而代入弧长公式计算即可．
（3）当n边形向右翻滚一周时，其中心O经过的路线是n条等弧，这些弧的半径为R，所对的圆心角为

360°

n

，继而代入计算即可．
（4）是定值2πR，按照前面的计算思想进行证明即可．

解答：解：（1）当正三角形ABC向右翻滚一周时，其中心O经过的路线是三条等弧，
所以其中心O经过的路程为：

120πR

180

×3=2πR．

（2）中心O经过的路程为

90πR

180

×4=2πR．

（3）当n边形向右翻滚一周时，其中心O经过的路线是n条等弧，这些弧的半径为R，所对的圆心角为

360°

n

，
所以中心O经过的路程为

360 n •π•R

180

×n=2πR．

（4）是定值2πR，理由如下：
在△ABC中，设∠A=α，∠B=β，∠C=γ，△ABC的外接圆⊙O的半径为R，
把△ABC沿直线l向右翻滚一周时，其外心O经过的路线是三条弧，
当AC边与直线l重合时，C与C'重合，A与A'重合，B与B'重合，
连接CO、C'O'，则∠ACO=∠A'C'O'，
所以∠OCO'=∠ACA'=180°-γ，
所以l=

(180-γ)πR

180

，
同理，另两条弧长分别为：

(180-α)πR

180

，

(180-β)πR

180

，
所以外心O所经过的路程为2πR．
通过以上猜想可得结论为：把圆内接多边形翻滚一周时，多边形的外心所经过的路程是一个定值．

点评：此题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握一些特殊图形的性质，熟练记忆弧长公式，有一定的难度，注意培养猜测、推理能力．