题目内容

（2011•虹口区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD是BC边上的高，点E、F分别是AB边和AC边上的动点，且∠EDF=90°．
（1）求DE：DF的值；
（2）连接EF，设点B与点E间的距离为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）设直线DF与直线AB相交于点G，△EFG能否成为等腰三角形？若能，请直接写出线段BE的长；若不能，请说明理由．
分析：（1）首先由勾股定理求出BC和CD，再利用三角形相似就可以求出结论．
（2）由条件把AE、AF用含x的式子表示出来，由勾股定理把EF表示出来，再根据（1）的结论把DE、DF用含EF的式子表示出来，根据直角三角形的面积公式就可以求出y的表达式．
（3）如图，根据线段的数量关系和勾股定理就可以求出BE的值．
解答：解：（1）∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠DAC+∠C=90°
∴∠B=∠DAC，
∴∠BDE+∠EDA=∠ADF+∠EDA=90°
∴∠BDE=∠ADF，
∴△BED∽△AFD，
∴
DE
DF
=
BD
AD
，
∵
DB
AD
=cotB=
AB
AC
=
3
4

∴DE：DF=
3
4


（2）由△BED∽△AFD，得
BE
AF
=
BD
AD
=
3
4
，
∴AF=
4
3
BE，
∵BE=x，
∴AF=
4
3
x，AE=3-x，
∵∠BAC=90°，
∴EF2=（3-x）2+（
4
3
x）2=
25
9
x2-6x+9，
∵DE：DF=3：4，∠EDF=90°，
∴ED=
3
5
EF，DF=
4
5
EF，
∴y=
1
2
ED•FD=
6
25
EF2，
∴y=
2
3
x2-
36
25
x+
54
25
（0≤x≤3）


（3）如图，得：
①在等腰△EFG中，EF=EG，
∴∠G=∠EFG，
∵∠EAF=∠EDF=90°
∴A、E、D、F四点共圆，
∴∠BAD=∠EFG
∴∠BAD=∠G，
∴AD=DG
又∵DF=DG
∴DF=AD，∠ADB=∠EDF，
∴△BAD≌△EFD
∴EF=AB
∴EF2=AB2
∴
25
9
x2-6x+9=9
解得x=
54
25
，
∴BE=
54
25
；
②若EF=GF，
∵EF=FG，EA⊥AC
∴A为EG中点
∴AE=AD，
∵AB=3，AD=
12
5
，
∴BE=3-
12
5
=
3
5
．
∴△EFG能成为等腰三角形，BE的长为
54
25
或
3
5
．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，等腰三角形的判定，勾股定理的运用．
练习册系列答案
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4
4
个．
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1
4
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（2）如图2，若将抛物线y=
1
4
x2改为抛物线y=x2+c（其中c是常数，且c＞0）．其他条件不变，求线段CA2的长；
（3）若将抛物线y=
1
4
x2改为抛物线y=ax2+c（其中a、c是常数，且a＞0）．其他条件不变，求线段CA2的长，并直接写出结果（结果用a、c表示）
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（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
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