题目内容
【题目】如图，已知抛物线y= 
（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣ 
x+b与抛物线的另一交点为D．
（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；
（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
【答案】
（1）
解：抛物线y= 
（x+2）（x﹣4），
令y=0，解得x=﹣2或x=4，
∴A（﹣2，0），B（4，0）．
∵直线y=﹣ 
x+b经过点B（4，0），
∴﹣ ×4+b=0，解得b= 
，
∴直线BD解析式为：y=﹣ x+ ．
当x=﹣5时，y=3 
，
∴D（﹣5，3 ）．
∵点D（﹣5，3 ）在抛物线y= （x+2）（x﹣4）上，
∴ （﹣5+2）（﹣5﹣4）=3 ，
∴k= 
．
∴抛物线的函数表达式为：y= 
（x+2）（x﹣4）
（2）
解：由抛物线解析式，令x=0，得y=﹣k，
∴C（0，﹣k），OC=k．
因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．
因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．
①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，如答图2﹣1所示．
设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y．
tan∠BAC=tan∠PAB，即： 
，
∴y= 
x+k．
∴P（x， x+k），代入抛物线解析式y= （x+2）（x﹣4），
得 （x+2）（x﹣4）= x+k，整理得：x2﹣6x﹣16=0，
解得：x=8或x=﹣2（与点A重合，舍去），
∴P（8，5k）．
∵△ABC∽△APB，
∴ 
，即 
，
解得：k= 
．
②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC=∠PAB，如答图2﹣2所示．
设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y．
tan∠ABC=tan∠PAB，即： 
= 
， 
∴y= x+ ．
∴P（x， x+ ），代入抛物线解析式y= （x+2）（x﹣4），
得 （x+2）（x﹣4）= x+ ，整理得：x2﹣4x﹣12=0，
解得：x=6或x=﹣2（与点A重合，舍去），
∴P（6，2k）．
∵△ABC∽△PAB，
= 
，
∴ 
= 
，
解得k=± 
，
∵k＞0，
∴k= ，
综上所述，k= 或k=
（3）
解：方法一：
如答图3，由（1）知：D（﹣5，3 ），
如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=3 ，ON=5，BN=4+5=9，
∴tan∠DBA= 
= 
= ，
∴∠DBA=30°．
过点D作DK∥x轴，则∠KDF=∠DBA=30°．
过点F作FG⊥DK于点G，则FG= 
DF．
由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+ DF，
∴t=AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．
由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．
过点A作AH⊥DK于点H，则t最小=AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．
∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：y=﹣ x+ ，
∴y=﹣ ×（﹣2）+ =2 ，
∴F（﹣2，2 ）．
综上所述，当点F坐标为（﹣2，2 ）时，点M在整个运动过程中用时最少．
方法二：
作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，
∵∠DBA=30°，
∴∠BDH=30°，
∴FH=DF×sin30°= 
，
∴当且仅当AH⊥DK时，AF+FH最小，
点M在整个运动中用时为：t= 
，
∵lBD：y=﹣ x+ ，
∴FX=AX=﹣2，
∴F（﹣2， 
）
【解析】（1）首先求出点A、B坐标，然后求出直线BD的解析式，求得点D坐标，代入抛物线解析式，求得k的值；（2）因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．如答图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；（3）由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+ DF．如答图3，作辅助线，将AF+ DF转化为AF+FG；再由垂线段最短，得到垂线段AH与直线BD的交点，即为所求的F点．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．
