Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=15厘米，AD=5厘米．点P从点C出发，沿CD运动，速度是1.5厘米/秒，点Q从点A出发，沿AB运动，速度是1厘米/秒，P，Q两点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
（1）如图1，在运动过程中是否存在四边形AQPD为菱形的情况？请说明理由．
（2）如图2，若平行四边形ABCD边AB上的高为3厘米，当P，Q运动几秒时，四边形AQPD为等腰梯形？

Answer 1

分析：（1）在运动过程中不存在四边形AQPD为菱形的情况，因为若四边形AQPD为菱形则必须DP=AQ=AD，其中通过已知条件的计算AQ≠AD，所以四边形AQDP不能为菱形；
（2）设当P，Q运动t秒时，四边形AQPD为等腰梯形，过D，P分别作DM⊥AQ，PN⊥AQ，若四边形AQPD为等腰梯形，则AM=NQ，根据勾股定理可计算出AM的长，进而建立关于t的方程，解方程求出t的值即可．

解答：解：（1）在运动过程中不存在四边形AQPD为菱形的情况，
理由如下：
若四边形AQPD为菱形则必须DP=AQ=AD，
设运动的时间为x，则DP=DC-PC=15-1.5x，AQ=x，
∵DP=AQ，
∴15-1.5x=x，
解得：x=6，
此时AQ=6，
∵AD=5≠AQ，
∴四边形AQPD不为菱形，
∴在运动过程中不存在四边形AQPD为菱形的情况；
（2）过D，P分别作DM⊥AQ，PN⊥AQ，则四边形DMNP是矩形，
∴DP=MN，
若四边形AQPD为等腰梯形，则AM=NQ，
在Rt△ADM中，AD=5，DM=3，
∴AM=

52-32

=4，
∵AQ=t，DP=15-1.5t，
∴AM=

t-(15-1.5t)

2

=4，
解得：t=9.2秒，
答：当P，Q运动9.2秒时，四边形AQPD为等腰梯形．

点评：本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定、矩形的判定和性质、等腰梯形的判定以及勾股定理的运用，题目的综合性很强，难度中等．