题目内容
【题目】已知，如图，在平面直角坐标系中，A(-3a,0),B(0,4a)，△ABO的面积是6.
（1）求B的坐标.
（2）在x轴的正半轴上有一点C，使∠BAO=2∠BCA,AB=5,动点P从A出发，沿线段AC运动,速度为每秒1个单位长度,设点P的运动时间为t，△BCP的面积为S，用含t的式子来表示S .
（3）在(2)的条件下,在P出发的同时,Q从B出发。沿着平行于x轴的直线，以每秒2个单位长度的速度匀速向右运动，在y轴上是否存在一点R,使△PQR为以PQ为腰的等腰直角三角形，求出满足条件的t,并直接写出点R的坐标.
【答案】（1）(0,4)；（2）S=22－2t；（3）存在；t=2；（0，9）
【解析】
（1）把坐标转化成长度，再利用面积求a即可，再将a代入B点坐标中；
（2）作BA关于y轴的对称线段BD，利用角的关系和等角对等边证出BD=DC，即可求出AC，再用t表示出PC，即可求出S与t的关系式；
（3）假设存在，过点Q作QD⊥x轴,交x轴于D，利用△PQR为以PQ为腰的等腰直角三角形证出△RQB≌△PQD从而得到边的关系，再利用时间t表示BQ，AP的长度，找到等量关系列出方程，即可求出t，求出OR即可.
解：（1）∵A(-3a,0),B(0,4a)，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上
∴a＞0，OA=3a，OB=4a
∵△ABO的面积是6
∴
OA·OB=6
∴6a2=6
解得：a=1
∴A的坐标为(-3,0)， B的坐标为(0,4)
（2）作BA关于y轴的对称线段BD，如图所示，
∠BAO=∠BDO，BA=BD=5，AD=2AO=2DO=6
又∵∠BAO=2∠BCA
∴∠BDO=2∠BCA
∵∠BDO=∠DBC＋∠BCA
∴∠DBC=∠BCA
∴BD=DC=5
∴AC=AD＋DC=11
∵动点P从A出发，速度为每秒1个单位长度
∴AP=t，PC=11－t
∴S=BO·PC=22－2t
（3）存在，过点Q作QD⊥x轴,交x轴于D
若△PQR为以PQ为腰的等腰直角三角形
∴QR=QP，∠PQR＝90°
∴∠RQB＋∠BQP=90°
由Q从B出发，沿着平行于x轴的直线向右行驶，QD⊥x轴
∴四边形BODQ为矩形
∴∠BQP＋∠PQD=90°，∠QBR=90°，QD=BO=4，BQ=OD
∴∠RQB=∠PQD
在△RQB和△PQD中
∴△RQB≌△PQD（AAS）
∴BQ=QD=4，BR=DP
∵Q从B出发，速度为每秒2个单位，P从A出发每秒1个单位
∴2t=4
解得：t=2
此时AP=t=2
∴OP=3－t=1
∴BR=DP= OP＋OD=1＋4=5
∴OR=OB＋BR=9
∴R的坐标为（0，9）
