题目内容
如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E.
(1)求证:四边形ADCE为矩形;
(2)当四边形ADCE是一个正方形时,试判断△ABC的形状.
(1)求证:四边形ADCE为矩形;
(2)当四边形ADCE是一个正方形时,试判断△ABC的形状.
(1)证明:∵在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC,
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线,
∴∠MAE=∠CAE.
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=
∠MAC+
∠CAB=
×180°=90°,
又∵AD⊥BC,CE⊥AN,
∴∠ADC=∠CEA=90°,
∴四边形ADCE为矩形.
(2)证明:∵四边形ADCE是正方形,
∴DC=AD,
∵在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,
∴△ADC为等腰直角三角形,
∴∠DAC=∠ACD=45°,
∴∠BAC=90°,
∴△ABC为等腰直角三角形,
即△ABC的形状是等腰直角三角形.
∴∠BAD=∠DAC,
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线,
∴∠MAE=∠CAE.
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=
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又∵AD⊥BC,CE⊥AN,
∴∠ADC=∠CEA=90°,
∴四边形ADCE为矩形.
(2)证明:∵四边形ADCE是正方形,
∴DC=AD,
∵在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,
∴△ADC为等腰直角三角形,
∴∠DAC=∠ACD=45°,
∴∠BAC=90°,
∴△ABC为等腰直角三角形,
即△ABC的形状是等腰直角三角形.
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