题目内容
如图，矩形ABCD的顶点A坐标为（0，0），顶点B的坐标是（-2，1），顶点C在y轴上．
（1）求点D的坐标；
（2）将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，使点D落在x轴的点G处，得到矩形AEFG，EF与AD交于点H．过点H的反比例函数图象交FG于点I．求△AHI的面积；
（3）小明猜想△AHI是一个直角三角形，他的猜想对吗？请谈谈你的看法．
（1）求点D的坐标；
（2）将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，使点D落在x轴的点G处，得到矩形AEFG，EF与AD交于点H．过点H的反比例函数图象交FG于点I．求△AHI的面积；
（3）小明猜想△AHI是一个直角三角形，他的猜想对吗？请谈谈你的看法．
（1）过B，D作△ABC和△ACD的高BM，DN，
在△ABC和△ACD中，
，
∴△ABC≌△ACD，
∴BM=DN=2，
过点B，D作x轴的垂线BP，DQ，则OP=AQ=2．
∵∠BAD=90°，
∴∠BAP+∠DAQ=90°，
又∵∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠BAP=∠ADQ，
∴△OBP∽△DAQ，
∴
=
，
即
=
，
∴DQ=4，
则D的坐标是（2，4）．
（2）（3）设直线OD的解析式是y=kx，把（2，4）代入解得k=2，
因而函数解析式是y=2x，
在直角△OBP中，根据勾股定理得到OB=
，
∴OE=OB=
，
即H点的纵坐标是
，
把y=
代入y=2x，得到x=
，
则H点的坐标是（
，
），
设反比例函数的解析式是y=
，把H点的坐标（
，
）代入解得k=
，
则解析式是y=
，
在直角△ADQ中，根据勾股定理得到OD=
=2
，
∴OG=OD=2
，
则I点的横坐标是2
，
把x=2
代入解析式得到y=
，
则I点的坐标是（2
，
），
∴OH2=
，OI2=
HI2=
，
∵
+
=
，
即AH2+HI2=AI2，
∴△AHI是一个直角三角形，
∴△AHI的面积是
•
÷2=
．
在△ABC和△ACD中，
|
∴△ABC≌△ACD，
∴BM=DN=2，
过点B，D作x轴的垂线BP，DQ，则OP=AQ=2．
∵∠BAD=90°，
∴∠BAP+∠DAQ=90°，
又∵∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠BAP=∠ADQ，
∴△OBP∽△DAQ，
∴
| BP |
| AQ |
| OP |
| DQ |
即
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| DQ |
∴DQ=4，
则D的坐标是（2，4）．
（2）（3）设直线OD的解析式是y=kx，把（2，4）代入解得k=2，
因而函数解析式是y=2x，
在直角△OBP中，根据勾股定理得到OB=
| 5 |
∴OE=OB=
| 5 |
即H点的纵坐标是
| 5 |
把y=
| 5 |
| ||
| 2 |
则H点的坐标是（
| ||
| 2 |
| 5 |
设反比例函数的解析式是y=
| k |
| x |
| ||
| 2 |
| 5 |
| 5 |
| 2 |
则解析式是y=
| 5 |
| 2x |
在直角△ADQ中，根据勾股定理得到OD=
| OQ2+DQ2 |
| 5 |
∴OG=OD=2
| 5 |
则I点的横坐标是2
| 5 |
把x=2
| 5 |
| ||
| 4 |
则I点的坐标是（2
| 5 |
| ||
| 4 |
∴OH2=
| 25 |
| 4 |
| 325 |
| 16 |
| 225 |
| 16 |
∵
| 25 |
| 4 |
| 225 |
| 16 |
| 325 |
| 16 |
即AH2+HI2=AI2，
∴△AHI是一个直角三角形，
∴△AHI的面积是
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