题目内容

如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以 $数学公式$ cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．
（1）当P异于A、C时，请说明PQ∥BC；
（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？

解：（1）∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2cm，
∴AB=BC=2，∠BAC= $\text{[math]}$ ∠DAB，
又∵∠DAB=60°（已知），
∴∠BAC=∠BCA=30°；
如图1，连接BD交AC于O．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA= $\text{[math]}$ AC，
∴OB= $\text{[math]}$ AB=1（30°角所对的直角边是斜边的一半），
∴OA= $\text{[math]}$ （cm），AC=2OA=2 $\text{[math]}$ （cm），
运动ts后， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
又∵∠PAQ=∠CAB，
∴△PAQ∽△CAB，
∴∠APQ=∠ACB（相似三角形的对应角相等），
∴PQ∥BC（同位角相等，两直线平行）

（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC．
在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM= $\text{[math]}$ PC= $\text{[math]}$
由PM=PQ=AQ=t，即 $\text{[math]}$ =t
解得t=4 $\text{[math]}$ -6，此时⊙P与边BC有一个公共点；

如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，
∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°
∴△PQB为等边三角形，∴QB=PQ=AQ=t，∴t=1
∴ $\text{[math]}$ 时，⊙P与边BC有2个公共点．

如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，即2 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ t=t，∴t=3- $\text{[math]}$ ．
∴当1＜t≤3- $\text{[math]}$ 时，⊙P与边BC有一个公共点，
当点P运动到点C，即t=2时，⊙P过点B，此时，⊙P与边BC有一个公共点，
∴当t=4 $\text{[math]}$ -6或1＜t≤3- $\text{[math]}$ 或t=2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；
当4 $\text{[math]}$ -6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．
分析：（1）连接BD交AC于O，构建直角三角形AOB．利用菱形的对角线互相垂直、对角线平分对角、邻边相等的性质推知△PAQ∽△CAB；然后根据“相似三角形的对应角相等”证得∠APQ=∠ACB；最后根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”可以证得结论；
（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，构建Rt△CPM，在Rt△CPM利用特殊角的三角函数值求得PM= $\text{[math]}$ PC= $\text{[math]}$ ，然后根据PM=PQ=AQ=t列出关于t的方程，通过解方程即可求得t的值；
如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，根据等边三角形的判定可以推知△PQB为等边三角形，然后由等边三角形的性质以及（2）中求得t的值来确定此时t的取值范围；
如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，据此等量关系列出关于t的方程，通过解方程求得t的值．
点评：本题综合考查了菱形的性质、直线与圆的位置关系以及相似三角形的判定等性质．解答（2）题时，根据⊙P的运动过程来确定t的值，以防漏解．