题目内容
【题目】（1）已知四边形
是边长为
的正方形，
是正方形边上的两个动点，点
从点
出发，以
的速度沿
方向运动，点
同时从点
出发以
速度沿
方向运动．设点运动的时间为
．
①如图1，点在
边上，
相交于点
，当互相平分时，求
的值；
②如图2，点在
边上，
相交于点
，当
时，求的值．
（2）如图，在小正方形的边长为1的正方形网格中，点
在格点上．
①线段的长是_____________；
②在网格中用无刻度的直尺，以为边画矩形，使这个矩形的面积是
．
要求：保留画图痕迹，并说明点
的位置如何找到的．
【答案】（1）①2；②4；（2）①
；②见详解．
【解析】
（1）①根据
互相平分得四边形APCQ为平行四边形，进而可得AP＝CQ，列出方程求解即可；
②根据
结合∠ABC＝∠C＝90°及AB＝BC可证得△ABP≌△BCQ，进而可得BP＝CQ，列出方程求解即可；
（2）①利用勾股定理计算即可；
②先利用勾股定理求得AB的长为，再结合矩形的面积是
求得矩形另一组边长为
，也就是AB的长的一半，进而可以先作出以AB为边的正方形ABEF，再找到BE、AF的中点C、D，连接CD，则矩形ABCD即为所求．
解：（1）①如图1，由题意得：AP＝2t，DQ＝t，
∵正方形ABCD的边长为6，
∴CQ＝CD－DQ＝6－t，
∵PQ与AC互相平分，
∴四边形APCQ为平行四边形，
∴AP＝CQ，
∵AP＝2t，CQ＝6－t，
∴2t＝6－t，
解得：t＝2（符合题意）；
②如图2，由题意得：BP＝2t－6，CQ＝6－t，
∵AP⊥BQ，
∴∠AHB＝90°，
∴∠PAB＋∠ABH＝90°，
∵在正方形ABCD中，∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC
∴∠QBC＋∠ABH＝90°，
∴∠QBC＝∠PAB，
∴在△QBC和△PAB中，
∴△QBC≌△PAB（AAS），
∴CQ＝BP，
∴2t－6＝6－t，
解得：t＝4（符合题意）；
（2）①如图，由题意得：AP＝3，BP＝2，
∴在Rt△ABP中，
；
②如图，矩形ABCD即为所求，
理由如下：由图结合①可知：在正方形ABEF中，BE＝AB＝AF＝，∠ABC＝90°，
∵在△AGD和△FHD中，
∴△AGD≌△FHD（AAS），
∴AD＝FD＝
AF＝
，
同理可得BC＝CE＝BE＝，
∴AD＝BC，
∵在正方形ABEF中，AF∥BE即AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∵S矩形ABCD＝AB·AD＝
，
∴矩形ABCD即为所求．
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