题目内容

【题目】如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边AB、CD上的点,AE=CF,连接EF、BF,EF与对角线AC交于点O,且BE=BF,BEF=2BAC。

(1)求证;OE=OF;(2)若BC=,求AB的长。

【答案】(1)证明见解析;(2)3.

【解析】分析:(1)根据矩形的对边平行可得AB∥CD,再根据两直线平行,内错角相等求出∠BAC=∠FCO,然后利用“角角边”证明△AOE和△COF全等,再根据全等三角形的即可得证;
(2)连接OB,根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF,再根据矩形的性质可得OA=OB,根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO,再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°,即∠BAC=30°,根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC,再利用勾股定理列式计算即可求出AB.

详解:(1)证明:在矩形ABCD中,ABCD,

∴∠BAC=FCO,

AOECOF中,

在△AOE和△COF中,

∴△AOE≌△COF(AAS),

OE=OF;

(2)解:如图,连接OB,

BE=BF,OE=OF,BOEF,

∴在RtBEO中,∠BEF+ABO=90°,

由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知:OA=OB=OC,

∴∠BAC=ABO, 又∵∠BEF=2BAC, 2BAC+BAC=90°,

解得∠BAC=30°, BC=AC=2BC=2

AB==3

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