题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b是实数，a≠0）．
（1）若函数y1的对称轴为直线x＝3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表达式．
（2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点（
，0）．
（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n＝0，求m，n的值．
【答案】（1）y1＝x2﹣6x+2或y1＝x2﹣6x+3；（2）见解析；（3）m＝n＝0．
【解析】
（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，可得r2+br+a＝0，推出1+
＝0，即a（
）2+b+1＝0，推出是方程ax2+bx+1的根，可得结论．
（3）由题意a＞0，可得m＝
，n＝
，根据m+n＝0，构建方程可得结论．
解：（1）由题意，得到﹣
＝3，解得b＝﹣6，
∵函数y1的图象经过（a，﹣6），
∴a2﹣6a+a＝﹣6，
解得a＝2或3，
∴函数y1＝x2﹣6x+2或y1＝x2﹣6x+3．
（2）∵函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，
∴r2+br+a＝0，
∴1+＝0，
即a（）2+b+1＝0，
∴是方程ax2+bx+1的根，
即函数y2的图象经过点（
，0）．
（3）由题意a＞0，∴m＝，n＝，
∵m+n＝0，
∴+
∴（4a﹣b2）（a+1）＝0，
∵a+1＞0，
∴4a﹣b2＝0，
∴m＝n＝0．
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