Question

已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD²＋CD²＝2AB²．

（1）求证：AB＝BC；
（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．

Answer 1

（1）连接AC，先根据勾股定理可得，，再结合，可得，从而证得结果；
（2）过C作CF⊥BE于F，即可证得四边形CDEF是矩形，则可得CD＝EF，根据同角的余角相等可得∠BAE＝∠CB，即可证得△BAE≌△CBF，则可得AE＝BF，从而得到结果.

试题分析：（1）连接AC
∵∠ABC＝90°
∴AB²＋BC²＝AC²
∵CD⊥AD
∴AD²＋CD²＝AC²
∵AD²＋CD²＝2AB²
∴AB²＋BC²＝2AB²
∴AB＝BC；
（2）过C作CF⊥BE于F

∵BE⊥AD
∴四边形CDEF是矩形.
∴CD＝EF
∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°
∴∠BAE＝∠CB
∴△BAE≌△CBF.
∴AE＝BF
∴BE＝BF＋EF＝AE＋CD.
点评：本题知识点较多，综合性强，读懂题意及图形，正确作出辅助线是解题的关键.