题目内容

【题目】如图,在△ABC中, tanABC=,∠C=45°,点DE分别是边ABAC上的点,且DEBCBD=DE=5,动点P从点B出发,沿B-D-E-C向终点C运动,在BD-DE上以每秒5个单位长度的速度运动,在EC上以每秒个单位长度的速度运动,过点PPQBC于点Q,以PQ为边作正方形PQMN,使点B、点N始终在PQ同侧. 设点P的运动时间为)(0),正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S

1)当点PBD-DE上运动时,用含的代数式表示线段DP的长.

2)当点N落在AB边上时,求的值.

3)当点PDE上运动时,求S之间的函数关系式.

4)当点P出发时,有一点H从点D出发,在线段DE上以每秒5个单位长度的速度沿D-E-D连续做往返运动,直至点P停止运动时,点H也停止运动.连结HN,直接写出HNDE所夹锐角为45°的值.

【答案】1)当0≤1时,DP=;当1≤2时,DP=;(2;(3;(4)满足条件的t的值为:0.1.

【解析】

1)分两种情形:当0t1时,当1t2时,分别求解即可.
2)根据DP=DM,构建方程求解即可.
3)分三种情形:①如图2-1中,当1t时,重叠部分是四边形BQPD.②如图2-2中,当t时,重叠部分是五边形MQPDK.③如图2-3,当t2时,重叠部分是正方形PQMN,分别求解即可.

4)分三种情形:点P在线段BD上一种情形,点P在线段EC上两种情形,分别画出图形,构建方程求解即可.

解:(1)根据题意,∵BD=DE=5

∴点P从点B运动到点D,所用的时间为:

P从点D运动到点E,所用的时间为:

0≤1时,点PBD上运动,DP=

1≤2时,点PDE上运动,DP=

2)如图1中,

RtBDM中,

∵∠DMB=90°,tanB=BD=5

DM=4BM=3

DP=DM

=4

解得:t

3)如图,当1≤时,重叠部分是四边形BQPD,则

S=

如图,当时,重叠部分是五边形MQPDK

S=

如图,当≤2时,重叠部分是正方形PQMNS=

综上所述,

4)如图,作HKNPNP的延长线于K

由题意∠HNK=45°,

HKNK

∴△NHK是等腰直角三角形,

NK=HK

可得4t+3-3t+5t=4-4t

解得:t=0.1

如图,当2t3时,满足EH=PN,条件成立.

可得:

解得:t

如图3-2中,当t3时,满足EH=PN,条件成立.


可得:

解得:

综上所述,满足条件的t的值为0.1

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