题目内容
【题目】如图,在△ABC中, tan∠ABC=,∠C=45°,点D、E分别是边AB、AC上的点,且DE∥BC,BD=DE=5,动点P从点B出发,沿B-D-E-C向终点C运动,在BD-DE上以每秒5个单位长度的速度运动,在EC上以每秒个单位长度的速度运动,过点P作PQ⊥BC于点Q,以PQ为边作正方形PQMN,使点B、点N始终在PQ同侧. 设点P的运动时间为()(>0),正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S.
(1)当点P在BD-DE上运动时,用含的代数式表示线段DP的长.
(2)当点N落在AB边上时,求的值.
(3)当点P在DE上运动时,求S与之间的函数关系式.
(4)当点P出发时,有一点H从点D出发,在线段DE上以每秒5个单位长度的速度沿D-E-D连续做往返运动,直至点P停止运动时,点H也停止运动.连结HN,直接写出HN与DE所夹锐角为45°时的值.
【答案】(1)当0<≤1时,DP=;当1<≤2时,DP=;(2);(3);(4)满足条件的t的值为:0.1或或.
【解析】
(1)分两种情形:当0<t≤1时,当1<t≤2时,分别求解即可.
(2)根据DP=DM,构建方程求解即可.
(3)分三种情形:①如图2-1中,当1≤t≤时,重叠部分是四边形BQPD.②如图2-2中,当<t≤时,重叠部分是五边形MQPDK.③如图2-3,当<t≤2时,重叠部分是正方形PQMN,分别求解即可.
(4)分三种情形:点P在线段BD上一种情形,点P在线段EC上两种情形,分别画出图形,构建方程求解即可.
解:(1)根据题意,∵BD=DE=5,
∴点P从点B运动到点D,所用的时间为:,
点P从点D运动到点E,所用的时间为:;
当0<≤1时,点P在BD上运动,DP=;
当1<≤2时,点P在DE上运动,DP=;
(2)如图1中,
在Rt△BDM中,
∵∠DMB=90°,tanB=,BD=5,
∴DM=4,BM=3,
∵DP=DM,
∴=4,
解得:t=.
(3)如图,当1≤≤时,重叠部分是四边形BQPD,则
S=;
如图,当<≤时,重叠部分是五边形MQPDK,
S=;
如图,当<≤2时,重叠部分是正方形PQMN,S=;
综上所述,;
(4)如图,作HK⊥NP交NP的延长线于K.
由题意∠HNK=45°,
∵HK⊥NK,
∴△NHK是等腰直角三角形,
∴NK=HK,
可得4t+3-3t+5t=4-4t,
解得:t=0.1;
如图,当2<t<3时,满足EH=PN,条件成立.
可得:,
解得:t=;
如图3-2中,当t>3时,满足EH=PN,条件成立.
可得:,
解得:.
综上所述,满足条件的t的值为0.1或或.