题目内容
【题目】已知：一次函数
的图象与反比例函数
（
）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．
（1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；
（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D．若
，求△ABC的面积．
【答案】（1）
，B（1，8）；（2）（﹣4，﹣2）、（﹣16，
）；（3）10．
【解析】
试题分析：（1）把点A的坐标代入
，就可求出反比例函数的解析式；解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点B的坐标；
（2）△PAB是以AB为直角边的直角三角形，分两种情况讨论：①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，求得OE=5，OH=4，AH=2，HE=1．证明△AHM∽△EHA，再根据相似三角形的性质可求出MH，从而得到点M的坐标，然后用待定系数法求出直线AP的解析式，再解直线AP与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点P的坐标；②若∠ABP=90°，同理即可得到点P的坐标；
（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，易证△CTD∽△BSD，根据相似三角形的性质可得
．由A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），可得C（﹣a，2a﹣10），CT=a，BS=b，即可得到
．由A、B都在反比例函数的图象上可得a（﹣2a+10）=b（﹣2b+10），把代入即可求出a的值，从而得到点A、B、C的坐标，运用待定系数法求出直线BC的解析式，从而得到点D的坐标及OD的值，然后运用割补法可求出S△COB，再由OA=OC可得S△ABC=2S△COB．
试题解析：（1）把A（4，2）代入，得k=4×2=8，∴反比例函数的解析式为，解方程组
，得：
或
，∴点B的坐标为（1，8）；
（2）①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y=﹣2x+10，当y=0时，﹣2x+10=0，解得x=5，∴点E（5，0），OE=5．∵A（4，2），∴OH=4，AH=2，∴HE=5﹣4=1．∵AH⊥OE，∴∠AHM=∠AHE=90°．又∵∠BAP=90°，∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，∴∠MAH=∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴
，∴
，∴MH=4，∴M（0，0），可设直线AP的解析式为
，则有
，解得m=
，∴直线AP的解析式为
，解方程组
，得：或
，∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）．
②若∠ABP=90°，同理可得：点P的坐标为（﹣16，
）．
综上所述：符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣2）、（﹣16，）；
（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，则有BS∥CT，∴△CTD∽△BSD，∴
．∵
，∴．∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），∴C（﹣a，2a﹣10），CT=a，BS=b，∴
=
，即．∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）都在反比例函数的图象上，∴a（﹣2a+10）=b（﹣2b+10），∴a（﹣2a+10）=
（﹣2×
+10）．∵a≠0，∴﹣2a+10=
（﹣2×
+10），解得：a=3．∴A（3，4），B（2，6），C（﹣3，﹣4）．
设直线BC的解析式为
，则有
，解得：
，∴直线BC的解析式为
．当x=0时，y=2，则点D（0，2），OD=2，∴S△COB=S△ODC+S△ODB=ODCT+ODBS=×2×3+×2×2=5．∵OA=OC，∴S△AOB=S△COB，∴S△ABC=2S△COB=10．
