题目内容
【题目】回答下列问题
(1)问题发现 如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE,求∠AEB的度数.
(2)拓展探究 如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE.请求∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由.
【答案】
(1)解:∵△ACB和△DCE均为等边三角形,
∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACD=60°﹣∠CDB=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
,
∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴∠ADC=∠BEC.
∵△DCE为等边三角形,
∴∠CDE=∠CED=60°.
∵点A,D,E在同一直线上,
∴∠ADC=120°,
∴∠BEC=120°.
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°
(2)解:∠AEB=90°,AE=BE+2CM.
理由:∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,
∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°.
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
,
∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴AD=BE,∠ADC=∠BEC.
∵△DCE为等腰直角三角形,
∴∠CDE=∠CED=45°.
∵点A,D,E在同一直线上,
∴∠ADC=135°,
∴∠BEC=135°.
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°.
∵CD=CE,CM⊥DE,
∴DM=ME.
∵∠DCE=90°,
∴DM=ME=CM.
∴AE=AD+DE=BE+2CM
【解析】(1)先证出∠ACD=∠BCE,那么△ACD≌△BCE,根据全等三角形证出∠ADC=∠BEC,求出∠ADC=120°,得出∠BEC=120°,从而证出∠AEB=60°;(2)证明△ACD≌△BCE,得出∠ADC=∠BEC,最后证出DM=ME=CM即可.
【考点精析】利用等边三角形的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°.
