Question

如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，以AB为直径的⊙O经过点C.过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P.点D为圆上一点，且，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接BC．
（1）判断OB和BP的数量关系,并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，求AE的长．

Answer 1

（1）OB=BP，理由见解析（2）3

解：（1）OB=BP。理由如下：连接OC，

∵PC切⊙O于点C，∴∠OCP=90°。
∵OA=OC，∠OAC=30°，∴∠OAC=∠OCA=30°。
∴∠COP=60°。∴∠P=30°。
在Rt△OCP中，OC=OP=OB=BP。
（2）由（1）得OB=OP。
∵⊙O的半径是2，∴AP=3OB=3×2=6。
∵，∴∠CAD=∠BAC=30°。∴∠BAD=60°。
∵∠P=30°，∴∠E=90°。
在Rt△AEP中，AE=AP=×6=3。
（1）首先连接OC，由PC切⊙O于点C，可得∠OCP=90°，又由∠BAC=30°，即可求得∠COP=60°，∠P=30°，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，证得OB=BP。
（2）由（1）可得OB=OP，即可求得AP的长，又由，即可得∠CAD=∠BAC=30°，从而求得∠E=90°，从而在Rt△AEP中求得答案。