题目内容
【题目】已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中AB=AC，AD=AE，
∠BAC=90°，∠DAE=90°．
(1)观察猜想
如图1，连接BE、CD交于点H，再连接CE，那么BE和CD的数量关系和位置关系分别是
(2)探究证明
将图1中的△ABC绕点A逆时针旋转到图2的位置时，分别取BC、CE、DE的中点P、Ｍ、Q，连接MP、PQ、MQ，请判断ＭP和MQ的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3)拓展延伸
已知AB=
，AD=4，在（2）的条件下，将△ABC绕点A旅转的过程中，若∠CAE=45°，请直接写出此时线段PQ的长．
【答案】（1）BE=CD，BE⊥CD；（2）MP=MQ，MP⊥MQ，理由见解析；（3）
或
．
【解析】
（1）由三角形中位线定理得出
,可得出∠MHE=∠CAE,∠CGM=∠CAE,证明三角形全等，得到BM=DM，证明
,即可得到结论。
（2）证出BM=DN,
,再证明
,即可得出结论
（3）分两种情况：根据两种情况的角度不同可以分类计算
（1）BE=CD，BE⊥CD，提示：证明△ABE≌△ACD；
（2）MP=MQ，MP⊥MQ，
提示：MP是△BCE的中位线，MQ是△ECD的中位线，
可证：△ACD≌△ABE，
得到BE=CD，BE⊥CD，进而得到结论．
（3）或．
提示: 
如图，延长BA交DE于H，此时∠EAH=45°，即AH⊥DE，
∴EH=AH=
=
，BH=
，由勾股定理得：BE=
，
∴
如图，设BC交AE于点H，则BC⊥AE，
AH=BH=1，EH=3，BE=
，
∴
．
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【题目】期末考试后，某市第一中学为了解本校九年级学生期末考试数学学科成绩情况，决定对该年级学生数学学科期末考试成绩进行抽样分析，已知九年级共有12个班，每班48名学生，请按要求回答下列问题：
（收集数据）
(1)若要从全年级学生中抽取一个48人的样本，你认为以下抽样方法中比较合理的有 ；(只要填写序号即可)
①随机抽取一个班级的48名学生；②在全年级学生中随机抽取48名学生；③在全年级12个班中分别各抽取4名学生；④从全年级学生中随机抽取48名男生；
（整理数据）
(2)将抽取的48名学生的成绩进行分组，绘制频数分布表和成绩分布扇形统计图(不完整)如下．请根据图表中数据填空：
①C类和D类部分的圆心角度数分别为 、
②估计全年级A、B类学生大约一共有 名；
成绩（分） | 频数 | 频率 |
A类（80~100） | 0.5 | |
B类（60~79） | 0.25 | |
C类（40~59） | 8 | |
D类（0~39） | 4 |
(3)学校为了解其他学校教学情况，将同层次的第一、第二两所中学的抽样数据进行对比，得下表：
学校 | 平均分（分） | 极差（分） | 方差 | A、B类的频率和 |
第一中学 | 71 | 52 | 432 | 0.75 |
第二中学 | 71 | 80 | 497 | 0.82 |
你认为哪所学校的教学效果较好?结合数据，请给出一个解释来支持你的观点．
