Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3， ），点C的坐标为（ ，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.2

Answer 1

【答案】B
【解析】解：法一：
作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，

则此时PA+PC的值最小，
∵DP=PA，
∴PA+PC=PD+PC=CD，
∵B（3， ），
∴AB= ，OA=3，∠B=60°，由勾股定理得：OB=2 ，
由三角形面积公式得： ×OA×AB= ×OB×AM，
∴AM= ，
∴AD=2× =3，
∵∠AMB=90°，∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∵∠BAO=90°，
∴∠OAM=60°，
∵DN⊥OA，
∴∠NDA=30°，
∴AN= AD= ，由勾股定理得：DN= ，
∵C（ ，0），
∴CN=3﹣ ﹣ =1，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC= = ，
即PA+PC的最小值是 ，
法二：
如图，作点C关于OB的对称点D，连接AD，过点D作DM⊥OA于M．

∵AB= ，OA=3
∴∠AOB=30°，
∴∠DOC=2∠AOB=60°
∵OC=OD
∴△OCD是等边三角形
∴DM=CDsin60°= ，OM=CM=CDcos60°=
∴AM=OA﹣OM=3﹣ =
∴AD =
即PA+PC的最小值为
故选：B．
作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根据勾股定理求出CD，即可得出答案．