题目内容
在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数y=
(k≠0)满足：当x＜0时，y随x的增大而减小．若该反比例函数的图象与直线y=-x+
k都经过点P，且|OP|=
，则实数k=
| 2k |
| x |
| 3 |
| 7 |
无解
无解
．分析：设出P的坐标为（a，b），由P为两函数的交点，将P坐标代入反比例与直线解析式中，得到ab与a+b，再利用勾股定理表示出|OP|，代入|OP|=
中，利用完全平方公式变形，把表示出的ab与a+b代入，得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．
| 7 |
解答：解：设P坐标为（a，b），代入反比例解析式得：ab=2k；代入直线解析式得：a+b=
k，
∵|OP|=
，即a2+b2=7，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=3k2-4k=7，△=16+84=100＞0，
分解因式得：（3k-7）（k+1）=0，
可得3k-7=0或k+1=0，
解得：k=
或k=-1（不合题意，舍去）．
联立方程所得到的一元二次方程有解需满足△≥0，从而得到k≥
或k＜0（舍），
所以求出的k=
不合题意，
则实数k无解．
故答案为：无解．
| 3 |
∵|OP|=
| 7 |
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=3k2-4k=7，△=16+84=100＞0，
分解因式得：（3k-7）（k+1）=0，
可得3k-7=0或k+1=0，
解得：k=
| 7 |
| 3 |
联立方程所得到的一元二次方程有解需满足△≥0，从而得到k≥
| 8 |
| 3 |
所以求出的k=
| 7 |
| 3 |
则实数k无解．
故答案为：无解．
点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：勾股定理，完全平方公式的运用，以及解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
练习册系列答案
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