题目内容
【题目】如图，已知抛物线
的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）。
（1）求直线BC与抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标。
【答案】解：（1）设直线BC的解析式为
，
将B（5，0），C（0，5）代入，得
，得
。
∴直线BC的解析式为
。
将B（5，0），C（0，5）代入
，得
，得
。
∴抛物线的解析式
。
（2）∵点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，∴设M
。
∵点N是直线BC上与点M横坐标相同的点，∴N
。
∵当点M在抛物线在x轴下方时，N的纵坐标总大于M的纵坐标。
∴
。
∴MN的最大值是
。
（3）当MN取得最大值时，N
。
∵
的对称轴是
，B（5，0），∴A（1，0）。∴AB=4。
∴
。
由勾股定理可得，
。
设BC与PQ的距离为h，则由S1=6S2得：
，即
。
如图，过点B作平行四边形CBPQ的高BH，过点H作x轴的垂线交点E ，则BH=
，EH是直线BC沿y轴方向平移的距离。
易得，△BEH是等腰直角三角形，
∴EH=
。
∴直线BC沿y轴方向平移6个单位得PQ的解析式：
或
。
当
时，与
联立，得
，解得
或
。此时，点P的坐标为（－1，12）或（6，5）。
当
时，与
联立，得
，解得
或
。此时，点P的坐标为（2，－3）或（3，－4）。
综上所述，点P的坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）。
【解析】（1）由B（5，0），C（0，5），应用待定系数法即可求直线BC与抛物线的解析式。
（2）构造MN关于点M横坐标的函数关系式，应用二次函数最值原理求解。
（3）根据S1=6S2求得BC与PQ的距离h，从而求得PQ由BC平移的距离，根据平移的性质求得PQ的解析式，与抛物线
联立，即可求得点P的坐标。
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