Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．

（1）求证：四边形DEBF是菱形；

（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形? 并加以证明；

（3）若AD=1，求四边形AGCD的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AGBD是矩形，理由见解析；（3）

【解析】

（1）由题意先证明△ADE是等边三角形，再利用菱形的判定方法进行分析证明即可；

（2）根据题意直接运用矩形的判定方法进行分析证明即可；

（3）由题意分别求出BD和CG的值，运用梯形的面积公式求解即可.

解：（1）∵AB=2AD，E是AB的中点，

∴AD=AE=BE，

又∵∠DAB=60°，

∴△ADE是等边三角形，故DE=BE，

同理可得DF=BF，

∵平行四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，

∴BE=DF，

∴DE=BE=BF=DF

即证得四边形DEBF是菱形．

（2）AGBD是矩形．

理由如下：∵△ADE是等边三角形，

∴∠DEA=60°，

又∵DE=BE，

∴∠EBD=∠EDB =30°，

∴∠ADB=60°+30°=90°，

又∵AG∥BD，AD∥CG，

∴四边形AGBD是矩形．

（3）在Rt△ABD中，

∵AD=1，∠DAB=60°，

∴AB=2，BD==，

则AG=，CG==2，

故四边形AGCD的面积为.