Question

如图①，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，
（1）如果△BCE的周长等于50，∠BEC=88°，求BC的长及∠A的度数；
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC边于点E，若BE=2，∠B=15°．求AC的长．

Answer 1

分析：（1）根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE，则BC=△BCE的周长-（BE+CE）=△BCE的周长-AC；根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质，求得∠A的度数；
（2）根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE=2，则∠BAE=∠B=15°；根据三角形外角的性质，得∠AEC=∠B+∠BAE=30°，再根据直角三角形的性质即可求得AC的长．

解答：解：（1）∵AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，
∴AE=BE，
∴∠A=∠ABE，BE+CE=AC=27．
∴∠A=

1

2

∠BEC=44°，BC=50-27=23．

（2）∵AB的垂直平分线交BC边于点E，
∴AE=BE=2，
∴∠BAE=∠B=15°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=30°，
∴AC=

1

2

AE=1．

点评：此题综合运用了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质以及直角三角形的性质．