题目内容
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的⊙O交AB于点D,过点D作⊙O的切线DE交AC于点E.
(1)求证:∠A=∠ADE;
(2)若AB=25,DE=10,弧DC的长为a,求DE、EC和弧DC围成的部分的面积S.(用含字母a的式子表示).
【答案】(1)见解析;(2)75﹣a.
【解析】
(1)连接CD,求出∠ADC=90°,根据切线长定理求出DE=EC,即可求出答案;
(2)连接CD、OD、OE,求出扇形DOC的面积,分别求出△ODE和△OCE的面积,即可求出答案
(1)证明:连接DC,
∵BC是⊙O直径,
∴∠BDC=90°,
∴∠ADC=90°,
∵∠C=90°,BC为直径,
∴AC切⊙O于C,
∵过点D作⊙O的切线DE交AC于点E,
∴DE=CE,
∴∠EDC=∠ECD,
∵∠ACB=∠ADC=90°,
∴∠A+∠ACD=90°,∠ADE+∠EDC=90°,
∴∠A=∠ADE;
(2)解:连接CD、OD、OE,
∵DE=10,DE=CE,
∴CE=10,
∵∠A=∠ADE,
∴AE=DE=10,
∴AC=20,
∵∠ACB=90°,AB=25,
∴由勾股定理得:BC==
=15,
∴CO=OD=,
∵的长度是a,
∴扇形DOC的面积是×a×
=
a,
∴DE、EC和弧DC围成的部分的面积S=×
×10+
×10﹣
a=75﹣
a.

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