题目内容
【题目】在△ABC中,已知∠A=60°,∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CE相交于点O,∠BOC的平分线交BC于F,有下列结论:①∠BOE=60°,②∠ABD=∠ACE,③OE=OD,④BC=BE+CD。其中正确的是_________。(把所有正确结论的序号都选上)
【答案】①③④
【解析】
①正确.根据外角的性质得:∠BOE=∠OBC+∠OCB=60°;
②不正确.∠ABD=∠ABC,∠ACE=
∠ACB,当AB=AC时,∠ABC=∠ACB,才有∠ABD=∠ACE;
③只要证明△BOE≌△BOF,△CDO≌△CFO,即可解决问题;
④根据③中的三角形全等,可得对应边相等,相加可得结论.
解:①如图,∵∠A=60°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°,
∵BD、CE分别是∠ABC和∠BCA的平分线,
∴∠OBC+∠OCB=×120°=60°,
∴∠BOE=∠OBC+∠OCB=60°
故①正确;
②∵BD、CE分别是∠ABC和∠BCA的平分线,
∴∠ABD=∠ABC,∠ACE=
∠ACB,
当AB=AC时,∠ABC=∠ACB,
而已知AB和AC没有相等关系,
故②不正确;
③∵∠OBC+∠OCB=60°,
∴∠BOC=120°,
∵OF平分∠BOC,
∴∠BOF=∠COF=60°,
∴∠BOE=60°,
∴∠BOE=∠BOF,
在△BOE和△BOF中,
∵
∴△BOE≌△BOF(ASA),
∴OE=OF,
同理得:△CDO≌△CFO,
∴OD=OF,
∴OD=OE,
故③正确;
④∵△BOE≌△BOF,△CDO≌△CFO,
∴BF=BE,CF=CD,
∴BC=CF+BF=BE+CD,
故④正确;
则下列说法中正确的是:①③④
故答案为①③④.
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