题目内容
如图所示,梯形AOCD中,∠AOC=90°,AD=9,OC=10,AO=4在线段OC上任取一点N(不与O、C重合),连接DN,作NE⊥DN,与直线AO交于点E.
(1)当CN=2时,求OE;
(2)若CN=t,OE=s,求s关于自变量t的函数关系式;
(3)探索与研究:如图2所示,分别以AO、OC所在的直线为y轴与x轴,O为原点,建立如图所示的直角坐标系,动点M从点O沿线段OC向C点运动,动点N从点C沿线段CO向点O同时等速运动,设现有一点F(x,y)满足MF⊥MN,NF⊥ND,试用含x的式子表示y.
(1)当CN=2时,求OE;
(2)若CN=t,OE=s,求s关于自变量t的函数关系式;
(3)探索与研究:如图2所示,分别以AO、OC所在的直线为y轴与x轴,O为原点,建立如图所示的直角坐标系,动点M从点O沿线段OC向C点运动,动点N从点C沿线段CO向点O同时等速运动,设现有一点F(x,y)满足MF⊥MN,NF⊥ND,试用含x的式子表示y.
(1)如图所示,作DF⊥OC于F,
由题意知,CN=2,AD=9,OC=10.
∵AOCD是梯形且∠AOC=90°,
∴OF=AD=9,CF=OC-OF=1,NF=CN-CF=1,DF=OA=4.
∴在Rt△DFN中,tan∠DNF=
=
=4.
又∵NE⊥DN,∠AOC=90°,
∴∠DNF=∠OEN,tan∠OEN=tan∠DNF=4.
∴OE=
=
=2;
(2)如图所示:
①当0<t<1时由(1)知CF=1,所以此时N点在F点右侧,E点在y轴负半轴
∵∠DNF=∠OEN,
∴tan∠DNF=
=
=tan∠OEN=
=
,
即
=
,
∴s=
.
②当t>1时,如图所示N点在F点左侧,E点则在y轴正半轴.
∵∠DNF=∠OEN,
∴tan∠DNF=
=tan∠OEN=
,
即
=
,
∴S=
;
(3)如图所示:由图知点F在第四象限,
∵MF⊥MN,NF⊥ND,点F(x,y),M点、N点同时等速运动,
∴CN=OM=x.
又∵∠MFN+∠MNF=∠MNF+∠DNM=90°,
∴∠MFN=∠DNM,
即:tan∠MFN=
=
=tan∠DNM=
=
,y<0,
∴y=-
x2+3x-
.
由题意知,CN=2,AD=9,OC=10.
∵AOCD是梯形且∠AOC=90°,
∴OF=AD=9,CF=OC-OF=1,NF=CN-CF=1,DF=OA=4.
∴在Rt△DFN中,tan∠DNF=
DF |
NF |
4 |
1 |
又∵NE⊥DN,∠AOC=90°,
∴∠DNF=∠OEN,tan∠OEN=tan∠DNF=4.
∴OE=
ON |
tan∠OEN |
8 |
4 |
(2)如图所示:
①当0<t<1时由(1)知CF=1,所以此时N点在F点右侧,E点在y轴负半轴
∵∠DNF=∠OEN,
∴tan∠DNF=
DF |
FN |
4 |
1-t |
OF |
OE |
10-t |
s |
即
4 |
1-t |
10-t |
s |
∴s=
t2-11t+10 |
4 |
②当t>1时,如图所示N点在F点左侧,E点则在y轴正半轴.
∵∠DNF=∠OEN,
∴tan∠DNF=
DN |
FN |
OF |
OE |
即
10-t |
s |
4 |
t-1 |
∴S=
-t2+11t-10 |
4 |
(3)如图所示:由图知点F在第四象限,
∵MF⊥MN,NF⊥ND,点F(x,y),M点、N点同时等速运动,
∴CN=OM=x.
又∵∠MFN+∠MNF=∠MNF+∠DNM=90°,
∴∠MFN=∠DNM,
即:tan∠MFN=
MN |
MF |
10-2x |
|y| |
OA |
1-x |
4 |
1-x |
∴y=-
1 |
2 |
5 |
2 |
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