题目内容
如图，在⊙O内接△ABC中，AB+AC=12，AD⊥BC于D，且AD=3，当⊙O的面积最大时，⊙O的半径是考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值,圆周角定理
专题：
分析：由题意知，需作出圆的直径AE，利用直径所对的圆周角是直角，得出△ABD∽△AEC．根据相似三角形的性质得到边之间的对应比相等，建立函数关系式；根据二次函数的最值的求法，结合函数关系式进行求解．
解答：
解：作直径AE，连接CE，如图所示，则∠ACE=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ACE=∠ADB=90度．
又∵∠B=∠E，
∴△ABD∽△AEC
设⊙O的半径为y，AB的长为x．
则
=
，即
=
．
整理得y=-
（x-6）2+6．
∴y=-
（x-6）2+6，
则当x=6时，y取得最大值，最大值为6．
故答案为：6．
解：作直径AE，连接CE，如图所示，则∠ACE=90°，∵AD⊥BC，
∴∠ACE=∠ADB=90度．
又∵∠B=∠E，
∴△ABD∽△AEC
设⊙O的半径为y，AB的长为x．
则
| AB |
| AD |
| AE |
| AC |
| x |
| 3 |
| 2y |
| 12-x |
整理得y=-
| 1 |
| 6 |
∴y=-
| 1 |
| 6 |
则当x=6时，y取得最大值，最大值为6．
故答案为：6．
点评：此题主要考查三角形相似及二次函数最大值的求法．题目难度较大．
练习册系列答案
53天天练系列答案
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