题目内容
如图,已知⊙O的半径为2,以⊙O的弦AB为直径作⊙M,点C是⊙O优弧AB |
3 |
(1)求∠C的度数;
(2)求DE的长;
(3)如果记tan∠ABC=y,
AD |
DC |
分析:(1)根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,连OM,OB,可求出∠BOM的度数,∠C=∠BOM.
(2)根据圆内接四边形一外角等于它的内对角,可证明△CDE∽△CBA,两三角形相似对应线段成比例,同时运用(1)中∠C=60°可得
的值,能计算出DE的长.
(3)根据直径所对的圆周角是直角,连接AE,在直角三角形中用三角函数可求出y与x之间的关系.
(2)根据圆内接四边形一外角等于它的内对角,可证明△CDE∽△CBA,两三角形相似对应线段成比例,同时运用(1)中∠C=60°可得
CD |
CB |
(3)根据直径所对的圆周角是直角,连接AE,在直角三角形中用三角函数可求出y与x之间的关系.
解答:解:(1)如图:连接OB、OM.
则在Rt△OMB中,∵OB=2,MB=
,∴OM=1.
∵OM=
OB,∴∠OBM=30°.
∴∠MOB=60°.
连接OA.则∠AOB=120°.
∴∠C=
∠AOB=60°.
(2)∵四边形ABED内接于⊙M,
∴∠CBA+∠ADE=180°,
∵∠CDE+∠ADE=180°,
∴∠CDE=∠CBA,
在△CDE和△CBA中,
∵∠CDE=∠CBA,∠ECD=∠ACB,
∴△CDE∽△CBA,∴
=
.
连接BD,则∠BDC=∠ADB=90°.
在Rt△BCD中,∵∠BCD=60°,∴∠CBD=30°.∴BC=2DC.
∴
=
.即
=
.
∴DE=
AB=
×2
=
.
(3)连接AE.
∵AB是⊙M的直径,∴∠AEB=∠AEC=90°.
由
=x,可得AD=x•DC,AC=AD+DC=(x+1)•DC.
在Rt△ACE中,∵cos∠ACE=
,sin∠ACE=
,
∴CE=AC•cos∠ACE=(x+1)•DC•cos60°=
(x+1)•DC;
AE=AC•sin∠ACE=(x+1)•DC•sin60°=
(x+1)•DC.
又由(2),知BC=2DC.
∴BE=BC-CE=2DC-
(x+1)•DC=
(3-x)•DC.
在Rt△ABE中,tan∠ABC=
=
=
,
∴y=
(0<x<3).
则在Rt△OMB中,∵OB=2,MB=
3 |
∵OM=
1 |
2 |
∴∠MOB=60°.
连接OA.则∠AOB=120°.
∴∠C=
1 |
2 |
(2)∵四边形ABED内接于⊙M,
∴∠CBA+∠ADE=180°,
∵∠CDE+∠ADE=180°,
∴∠CDE=∠CBA,
在△CDE和△CBA中,
∵∠CDE=∠CBA,∠ECD=∠ACB,
∴△CDE∽△CBA,∴
DE |
AB |
DC |
BC |
连接BD,则∠BDC=∠ADB=90°.
在Rt△BCD中,∵∠BCD=60°,∴∠CBD=30°.∴BC=2DC.
∴
DC |
BC |
1 |
2 |
DE |
AB |
1 |
2 |
∴DE=
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
3 |
(3)连接AE.
∵AB是⊙M的直径,∴∠AEB=∠AEC=90°.
由
AD |
DC |
在Rt△ACE中,∵cos∠ACE=
CE |
AC |
AE |
AC |
∴CE=AC•cos∠ACE=(x+1)•DC•cos60°=
1 |
2 |
AE=AC•sin∠ACE=(x+1)•DC•sin60°=
| ||
2 |
又由(2),知BC=2DC.
∴BE=BC-CE=2DC-
1 |
2 |
1 |
2 |
在Rt△ABE中,tan∠ABC=
AE |
BE |
| ||||
|
| ||
3-x |
∴y=
| ||
3-x |
点评:本题考查圆周角与圆心角之间的关系,园中相似三角形的运用,以及由直径所对的圆周角是直角可得直角三角形,在直角三角形中对三角函数的灵活运用.
练习册系列答案
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如图,已知⊙O的半径为5,两弦AB、CD相交于AB中点E,且AB=8,CE:ED=4:9,则圆心到弦CD的距离为( )
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|