Question

【题目】对于数轴上的A、B、C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“至善点”．例如：若数轴上点A、B、C所表示的数分别为1、3、4，则点B是点A、C的“至善点”．

（1）若点A表示数﹣2，点B表示数2，下列各数、0、1、6所对应的点分别为C1、C2、C3、C4，其中是点A、B的“至善点”的有　 　（填代号）；

（2）已知点A表示数﹣1，点B表示数3，点M为数轴上一个动点：

①若点M在点A的左侧，且点M是点A、B的“至善点”，求此时点M表示的数m；

②若点M在点B的右侧，点M、A、B中，有一个点恰好是其它两个点的“至善点”，求出此时点M表示的数m．

Answer 1

【答案】（1）C1、C4；（2）①﹣5；②点M表示的数m可以为5，7，11

【解析】

（1）根据C1、C2、C3、C4所表示的数，分别计算这个点到A、B的距离，根据“至善点”的意义进行判断即可；

（2）①点M在点A的左侧，则m＜﹣1，点M是点A、B的“至善点”，则有2MA＝MB，列方程求解即可；

②点M在点B的右侧，则m＞3，由点M、A、B中，有一个点恰好是其它两个点的“至善点”，分三种情况进行讨论： M是A、B的“至善点”，A是B、M的“至善点”，B是A、M的“至善点”，分别建立方程即可求解．

解：（1）当C1＝﹣时，AC1＝|﹣+2|＝，BC1＝|2+|＝，有BC1＝2AC1，因此C1符合题意；

当C2＝0时，AC2＝|0+2|＝2，BC2＝|2+0|＝2，有BC2＝AC2，因此C2不符合题意；

当C3＝1时，AC3＝|1+2|＝3，BC3＝|2﹣1|＝1，有3BC3＝AC3，因此C3不符合题意；

当C4＝6时，AC4＝|6+2|＝8，BC4＝|2﹣6|＝4，有2BC4＝AC4，因此C4符合题意；

故答案为：C1、C4；

（2）①点M在点A的左侧，则m＜﹣1，

点M是点A、B的“至善点”，因此有2MA＝MB，即2（﹣1﹣m）＝3﹣m，

解得，m＝﹣5，

②点M在点B的右侧，则m＞3，

点M、A、B中，有一个点恰好是其它两个点的“至善点”，

Ⅰ）若M是A、B的“至善点”，则2MB＝MA，即2（m﹣3）＝m+1，解得m＝7，

Ⅱ）若A是B、M的“至善点”，则2AB＝AM，即2（3+1）＝m+1，解得m＝7，

Ⅲ）若B是A、M的“至善点”，则2AB＝BM或AB＝2BM，即2（3+1）＝m﹣3或3+1＝2（m﹣3），解得m＝11或m＝5，

答：点M表示的数m可以为5，7，11．