Question

【题目】如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE．下列结论：
①∠ACD=30°；②SABCD=ACBC；③OE：AC= ：6；④S△OCF=2S△OEF
成立的个数有（ ）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵CE平分∠BCD交AB于点E，
∴∠DCE=∠BCE=60°
∴△CBE是等边三角形，
∴BE=BC=CE，
∵AB=2BC，
∴AE=BC=CE，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；
∵AC⊥BC，
∴SABCD=ACBC，故②正确，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴AC= BC，
∵AO=OC，AE=BE，
∴OE= BC，
∴OE：AC= ，
∴OE：AC= ：6；故③正确；
∵AO=OC，AE=BE，
∴OE∥BC，
∴△OEF∽△BCF，
∴ = ，
∴S△OCF：S△OEF= = ，
∴S△OCF=2S△OEF；故④正确；
故选D．

【考点精析】解答此题的关键在于理解平行四边形的性质的相关知识，掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分，以及对相似三角形的判定与性质的理解，了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．