题目内容
【题目】如图,AB切⊙O与点A,BE切⊙O于点E,连接AO并延长交⊙O于点C,交BE的延长线于点D,连接EC,若AD=8,tan∠DEC=,则CD=_____.
【答案】2
【解析】
连接OB,OE,根据切线的性质得到AB=EB,根据全等三角形的性质得到∠AOB=∠EOB,推出CE∥OB,得到∠DEC=∠EBO,求得∠DEC=∠ABO,得到tan∠ABO=,设OA=x,AB=2x,根据相似三角形的性质得到DE=4,根据勾股定理即可得到结论.
解:连接OB,OE,
∵AB切⊙O与点A,BE切⊙O于点E,
∴AB=EB,
在△ABO与△EBO中,
∴△ABO≌△EBO(SSS),
∴∠AOB=∠EOB,
∴∠AOB=∠AOE,
∵∠COE=∠AOE,
∴∠AOB=∠ACE,
∴CE∥OB,
∴∠DEC=∠EBO,
∴∠DEC=∠ABO,
∵tan∠DEC=,
∴tan∠ABO=,
设OA=x,AB=2x,
∴OE=x,
∵∠OED=∠A=90°,∠D=∠D,
∴△DEO∽△DAB,
∴,
∵AD=8,
∴DE=4,
∵OE2+DE2=OD2,
∴x2+42=(8﹣x)2,
∴x=3,
∴CD=8﹣6=2.
故答案为:2.

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