题目内容
【题目】已知:如图,在△ABC中,D、E分别是AB、BC边上的中点,过点C作CF∥AB,交DE的延长线于F点,连接CD、BF.
(1)求证:△BDE≌△CFE;
(2)△ABC满足什么条件时,四边形BDCF是矩形?
【答案】(1)详见解析;(2)当BC=AC时,四边形BDCF是矩形,理由详见解析
【解析】
(1)由平行线的性质得出∠DBE=∠CFE,由中点的定义得出BE=CE,由ASA证明△BDE≌△CFE即可;
(2)先证明DE是△ABC的中位线,得出DE∥AC,证出四边形BDCF是平行四边形,得出AD=CF,证出CF=BD,得出四边形BDCF是平行四边形;再由等腰三角形的性质得出CD⊥AB,即可得出结论.
(1)证明:∵CF∥AB,
∴∠DBE=∠CFE,
∵E是BC的中点,
∴BE=CE,
在△BDE和△CFE中,
∴△BDE≌△CFE(ASA);
(2)解:当BC=AC时,四边形BDCF是矩形,理由如下:
∵D、E分别是AB,BC的中点
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥AC,又AF∥BC,
∴四边形BDCF是平行四边形,
∴AD=CF,
又BD=AD,
∴CF=BD,又CF∥BD,
∴四边形BDCF是平行四边形;
∵BC=AC,BD=AD,
∴CD⊥AB,即∠BDC=90°,
∴平行四边形BDCF是矩形.