题目内容
【题目】现用棱长为1cm的若干小立方体，按如图所示的规律在地上搭建若个几何体．图中每个几何体自上而下分别叫第一层，第二层…第n层（n为正整数），其中第一层摆放一个小立方体，第二层摆放4个小立方体，第三层摆放9个小立方体…，依次按此规律继续摆放．
（1）求搭建第4个几何体需要的小立方体个数；
（2）为了美观，若将每个几何体的所有露出部分（不包含底面）都喷涂油漆，已知喷涂1cm2需要油漆0.2g．
①求喷涂第4个几何体需要油漆多少g？
②求喷涂第n个几何体需要油漆多少g？（用含n的代数式表示）
【答案】（1）30；（2）①11.2（g）．②（0.6n2+0.4n）g．
【解析】
试题分析：（1）观察得到每层向上的面都为正方形，即每层的个数都为平方数，则搭建第4个几何体的小立方体的个数=1+4+9+16；第n个几何体第n层的个数为n2，所以总数为1+22+32+42+…+n2；
（2）①喷漆第四个几何露在外面的表面积为：4×（1+2+3+4）+42=56（cm2），再用表面积×0.2，即可解答．
②第n个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积=4×（1+2+3+…+n）+n2，化简后乘以0.2即可．
解：（1）搭建第4个几何体的小立方体的个数=1+4+9+16=30；
（2）①喷漆第四个几何露在外面的表面积为：4×（1+2+3+4）+42=56（cm2），
56×0.2=11.2（g）．
②第n个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积=4×（1+2+3+…+n）+n2=4×
+n2=3n2+2n，
所以所需要的油漆量=（3n2+2n）×0.2=（0.6n2+0.4n）g．
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