题目内容
已知四边形ABCD中，AD+DB+BC=16，则四边形ABCD的面积的最大值为________．
32
分析：先画图，由于S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD，那么当∠ADB=∠BCD=90°时，S△ABD、S△BCD有最大值，也就是四边形ABCD有最大值，再结合AD+DB+BC=16，可求S四边形ABCD=8BD-
BD2，再利用二次函数的求最值问题，即可求四边形ABCD的面积．
解答：
解：如右图所示，连接BD，
∵S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD，
S△ABD=AD•BDsin∠ADB，
S△BCD=BD•BCsin∠BCD，
∴当∠ADB=∠BCD=90°时，S△ABD、S△BCD有最大值，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=AD•BD+BD•BC，
又∵AD+BC=16-BD，
∴S四边形ABCD=BD（16-BD）=8BD-BD2，
∵a=-＜0，
∴当BD=-
=8时，四边形ABCD的面积有最大值=
=32．
故四边形ABCD的最大面积是32．
点评：本题考查了四边形面积的计算、二次函数的性质．已知两边和夹角，可利用夹角的正弦来求面积．要使三角形面积最大，则夹角应等于90°．
分析：先画图，由于S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD，那么当∠ADB=∠BCD=90°时，S△ABD、S△BCD有最大值，也就是四边形ABCD有最大值，再结合AD+DB+BC=16，可求S四边形ABCD=8BD-
BD2，再利用二次函数的求最值问题，即可求四边形ABCD的面积．解答：
解：如右图所示，连接BD，∵S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD，
S△ABD=
AD•BDsin∠ADB，S△BCD=
BD•BCsin∠BCD，∴当∠ADB=∠BCD=90°时，S△ABD、S△BCD有最大值，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=
AD•BD+BD•BC，又∵AD+BC=16-BD，
∴S四边形ABCD=
BD（16-BD）=8BD-BD2，∵a=-
＜0，∴当BD=-
=8时，四边形ABCD的面积有最大值==32．故四边形ABCD的最大面积是32．
点评：本题考查了四边形面积的计算、二次函数的性质．已知两边和夹角，可利用夹角的正弦来求面积．要使三角形面积最大，则夹角应等于90°．
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