题目内容
【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D,E.
(1)求证:AE=2CE;
(2)连接CD,请判断△BCD的形状,并说明理由.
【答案】见解析
【解析】
(1)连接BE,根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE,利用等边对等角的性质可得∠ABE=∠A;结合三角形外角的性质可得∠BEC的度数,再在Rt△BCE中结合含30°角的直角三角形的性质,即可证明第(1)问的结论;
(2)根据直角三角形斜边中线的性质可得BD=CD,再利用直角三角形锐角互余的性质可得到∠ABC=60°,至此不难判断△BCD的形状
(1)证明:连结BE,如图.
∵DE是AB的垂直平分线,
∴AE=BE,
∴∠ABE=∠A=30°,
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°,
在Rt△BCE中,BE=2CE,
∴AE=2CE.
(2)解:△BCD是等边三角形.
理由如下:
∵DE垂直平分AB,
∴D为AB的中点.
∵∠ACB=90°,
∴CD=BD.
又∵∠ABC=60°,
∴△BCD是等边三角形.
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